Question

9．已知函数f（x）=|x-a|+|x-1|（a＞0）的最小值是2，则a的值是3，不等式f（x）≥4的解集是（-∞，0]∪[4，+∞）．

Answer 1

分析 根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到关于a的方程，求出a的值，从而求出f（x）的解析式，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．

解答 解：f（x）=|x-a|+|x-1|≥|x-a-x+1|=|1-a|=2，
故1-a=2或1-a=-2，
解得：a=-1或a=3，
而a＞0，故a=3，
故f（x）=|x-3|+|x-1|，
由f（x）≥4，即|x-3|+|x-1|≥4，
故$\left\{\begin{array}{l}{x-3+x-1≥4}\\{x≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3-x+x-1≥4}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3-x+1-x≥4}\\{x≤1}\end{array}\right.$，
解得：x≥4或x≤0，
故不等式的解集是（-∞，0]∪[4，+∞），
故答案为：3，（-∞，0]∪[4，+∞）．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．