Question

16．B．已知数列{a_n}满足a₁=5，且${a_{n+1}}+2{a_n}=5×{3^n}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$，记T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得a_n+1-3ⁿ⁺¹=-2（a_n-3ⁿ），则数列{a_n-3ⁿ}是以a₁-3=2为首项，-2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到所求通项；
（2）求出${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$=n•（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，|b_n|=n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）数列{a_n}满足a₁=5，且${a_{n+1}}+2{a_n}=5×{3^n}$．
可得a_n+1-3ⁿ⁺¹=-2（a_n-3ⁿ），
则数列{a_n-3ⁿ}是以a₁-3=2为首项，-2为公比的等比数列，
则a_n-3ⁿ=2×（-2）^n-1，
即a_n=3ⁿ+2×（-2）^n-1，n∈N*；
（2）由（1）可得${b_n}=n（{1-\frac{a_n}{3^n}}）$=n•（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，
则T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=1•$\frac{2}{3}$+2•（$\frac{2}{3}$）²+…+（n-1）•（$\frac{2}{3}$）^n-1+n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ，
即有$\frac{2}{3}$T_n=1•（$\frac{2}{3}$）²+2•（$\frac{2}{3}$）³+…+（n-1）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ+n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
两式相减可得，$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{2}{3}$+（$\frac{2}{3}$）²+…+（$\frac{2}{3}$）^n-1+（$\frac{2}{3}$）ⁿ-n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{2}{3}（1-\frac{{2}^{n}}{{3}^{n}}）}{1-\frac{2}{3}}$-n•（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=6-2（n+3）•（$\frac{2}{3}$）ⁿ．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用构造等比数列，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．