Question

4．已知圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，直线l过点A（1，0）．
（1）求圆C的圆心坐标和半径；
（2）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（3）若直线l与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圆C的标准方程，能求出圆C的圆心坐标和半径．
（2）若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1；若直线l斜率存在，设直线l的方程为kx-y-k=0，由圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，得$k=\frac{3}{4}$，由此能求出直线l的方程．
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线l方程为kx-y-k=0，圆心到直l的距离$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，求出三角形CPQ的面积的最大值为2，由$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，能求出直线l方程．

解答 解：（1）∵圆C：（x-3）²+（y-4）²=4，
∴圆C的圆心坐标为C（3，4），半径为2．…3分
（2）①若直线l的斜率不存在，则直线l：x=1，符合题意．…5分
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由题意知，圆心（3，4）到已知直线l的距离等于半径2，即$\frac{{|{3k-4-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=2$，解得$k=\frac{3}{4}$，
所求直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0；…7分
（3）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，
设直线l方程为kx-y-k=0，则圆心到直l的距离$d=\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
又∵三角形CPQ面积$S=\frac{1}{2}×d×2\sqrt{4-{d^2}}=d\sqrt{4-{d^2}}=\sqrt{{d^2}（4-{d^2}）}$  $≤\frac{{{d^2}+（4-{d^2}）}}{2}=2$，
当且仅当d²=4-d²，即$d=\sqrt{2}$时取等号，
三角形CPQ的面积的最大值为2，由$\frac{{|{2k-4}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，得k=1或k=7，
此时直线l方程为x-y-1=0，或7x-y-7=0．…12分

点评 本题考查圆的圆心坐标、半径的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．