Question

20．已知函数f（x）=x+$\frac{m}{x}$（x≠0），m，n∈R，若对任意的m∈[$\frac{1}{2}$，2]，不等式f（x）+n≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，则实数n的取值范围是（-∞，$\frac{7}{4}$]．

Answer 1

分析 令$g（m）=\frac{m}{x}+x$，m∈[$\frac{1}{2}$，2]，显然g（m）_max=g（2）=x+$\frac{2}{x}$，不等式f（x）+n≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立?（x+$\frac{2}{x}+n$）_max≤10，只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+8+n≤10}\\{1+2+n≤10}\end{array}\right.$，即n$≤\frac{7}{4}$．即可求得实数n的取值范围

解答 解：令$g（m）=\frac{m}{x}+x$，m∈[$\frac{1}{2}$，2]，显然g（m）_max=g（2）=x+$\frac{2}{x}$，
不等式f（x）+n≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立，?[f（x）+n]_max≤10在x∈[$\frac{1}{4}$，1]恒成立．
即（x+$\frac{2}{x}+n$）_max≤10，
只需$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}+8+n≤10}\\{1+2+n≤10}\end{array}\right.$，即n$≤\frac{7}{4}$．故实数n的取值范围是（-$∞，\frac{7}{4}$]．
故答案为：（-$∞，\frac{7}{4}$]

点评 本题考查了双参数问题的处理方法，考查了转化思想，属于中档题，