Question

1．若（x²-a）（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰的展开式中x⁶的系数为30，则$\int_0^a$（3x²+1）dx=10．

Answer 1

分析 根据题意求出（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰展开式中含x⁴项、x⁶项的系数，得出（x²-a）（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰的展开式中x⁶的系数，再列出方程求出a的值，利用定积分求出结论．

解答 解：（x+$\frac{1}{x}}$）¹⁰展开式的通项公式为：
T_r+1=${C}_{10}^{r}$•x^10-r•x^-r=${C}_{10}^{r}$•x^10-2r；
令10-2r=4，解得r=3，所以x⁴项的系数为${C}_{10}^{3}$；
令10-2r=6，解得r=2，所以x⁶项的系数为${C}_{10}^{2}$；
所以（x²-a）（x+$\frac{1}{x}$）¹⁰的展开式中x⁶的系数为：${C}_{10}^{3}$-a${C}_{10}^{2}$=30，
解得a=2．
∴$\int_0^a$（3x²+1）dx=$（{x}^{3}+x）{|}_{0}^{2}$=10．
故答案为10．

点评 本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，考查定积分知识的运用，是中档题．