Question

12．若曲线y=f（x）上存在两个不同的点M、N，使得y=f（x）在这两点处的切线是平行或重合的，则称该曲线为“斜同曲线”，给出下列方程：
①y=e^x-1；②y=x²-|x|；③|x|+1=$\sqrt{4-{y^2}}$；④y=|x|+$\frac{2}{|x|}$
它们所对应的曲线是斜同曲线的为（填序号）②③④．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，结合函数的图象的特征，判断此函数是否是斜同曲线．

解答 解：①y=e^x-1，∴y′=e^x是增函数，∴任意两点处的切线斜率都不相等，不是斜同曲线；
②y=x²-|x|=$\left\{\begin{array}{l}{（x-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x≥0}\\{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}，x＜0}\end{array}\right.$，在 x=$\frac{1}{2}$和 x=-$\frac{1}{2}$处的切线都是y=-$\frac{1}{4}$，故②是斜同曲线；
③由于|x|+1=$\sqrt{4-{y^2}}$，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象是两段圆弧，在 x=1和 x=-1处的切线平行，可得③是斜同曲线；
④y=|x|+$\frac{2}{|x|}$在 x=$\sqrt{2}$和 x=-$\sqrt{2}$处的切线都是y=2$\sqrt{2}$，故④是斜同曲线．
故答案为：②③④．

点评 本题考查斜同曲线的定义，函数图象的特征，准确判断一个函数是斜同曲线是解题的难点．