Question

设各项均为非负数的数列{a_n}的为前n项和S_n=λna_n（a₁≠a₂，λ∈R）．
（1）求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式（用n，a₂表示）．
（3）证明：当m+l=2p（m，l，p∈N^*）时，S_m•S_l≤S_p²．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁=λa₁⇒λ=1或a₁=0，分类讨论即可求得实数λ的值；
（2）记S_n=

1

2

na_n，则S_n-1=

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2），两式相减，可求得

an

an-1

=

n-1

n-2

（n≥3），累乘可求得a_n=a₂（n-1）（n≥3），再检验n=1或n=2时的情况即可；
（3）由a_n=a₂（n-1），S_n=

n(n-1)

2

a₂（a₂≠0）及m+l=2p（m，l，p∈N^*），作差Sp2-S_mS_n整理可得Sp2-S_mS_n=

a22

4

ml[（m+l）-2

ml

]≥0，从而使结论得证．

解答： 解：（1）当n=1时，a₁=λa₁，
∴λ=1或a₁=0，
若λ=1，则S_n=na_n，取n=2得a₁+a₂=2a₂，即a₁=a₂，这与a₁≠a₂矛盾；
∴a₁=0，取n=2得a₁+a₂=2λa₂，
又a₁≠a₂，故a₂≠0，
∴λ=

1

2

；
（2）记S_n=

1

2

na_n①，
则S_n-1=

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2）②，
①-②得a_n=

1

2

na_n-

1

2

（n-1）a_n-1（n≥2），
又数列{a_n}各项均为非负数，且a₁=0，
∴

an

an-1

=

n-1

n-2

（n≥3），
∴

a3

a2

•

a4

a3

…

an

an-1

=

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

n-1

n-2

，
即a_n=a₂（n-1）（n≥3）；
当n=1或n=2时，a_n=a₂（n-1）也适合，
∴a_n=a₂（n-1）；
（3）证明：∵a_n=a₂（n-1），
∴S_n=

n(n-1)

2

a₂（a₂≠0），
又m+l=2p（m，l，p∈N^*）
则Sp2-S_mS_n=

a22

4

{[p（p-1）]²-m（m-1）l（l-1）}
=

a22

4

{[(

m+l

2

)2-

m+l

2

]2-ml（m-1）（l-1）}
≥

a22

4

[(ml-

ml

)2-ml（m-1）（l-1）]
=

a22

4

ml[(

ml

-1)2-（m-1）（l-1）]
=

a22

4

ml[（m+l）-2

ml

]
≥0（当且仅当m=l时等号成立）
∴S_m•S_l≤S_p²．

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列与不等式的综合，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．