Question

6．已知函数f（x）=x³+x²-$\frac{1}{27}$，则关于x的方程3（f（x））²+2f（x）=0的根的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 求导f′（x）=3x²+2x=x（3x+2），从而判断函数的单调性及极值，再由3（f（x））²+2f（x）=0得f（x）=0或f（x）=-$\frac{2}{3}$；从而解得．

解答 解：∵f（x）=x³+x²-$\frac{1}{27}$，
∴f′（x）=3x²+2x=x（3x+2），
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$）上是增函数，
在（-$\frac{2}{3}$，0）上是减函数，（0，+∞）上是增函数；
且f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{8}{27}$+$\frac{4}{9}$-$\frac{1}{27}$=$\frac{1}{9}$，f（0）=-$\frac{1}{27}$，
∵3（f（x））²+2f（x）=0，
∴f（x）=0或f（x）=-$\frac{2}{3}$；
故f（x）=0有三个解，f（x）=-$\frac{2}{3}$有一个解；
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及方程的解与函数的零点的关系应用．