Question

18．已知以点C（a，$\frac{2}{a}$）（a＞0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．
（1）求证：△AOB的面积为定值；
（2）设直线2x+y-4=0与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）设出圆C的方程，求得A、B的坐标，再根据S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB，计算可得结论． 
（2）设MN的中点为H，则CH⊥MN，根据C、H、O三点共线，K_MN=-2，由直线OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{1}{2}$，求得a的值，可得所求的圆C的方程．

解答 （1）证明：由题设知，圆C的方程为（x-a）²+（y-$\frac{2}{a}$）²=a²+$\frac{4}{{a}^{2}}$，
化简得x²-2ax+y²-$\frac{4}{a}$y=0．
当y=0时，x=0或2a，则A（2a，0）；
当x=0时，y=0或$\frac{4}{a}$，则B（0，$\frac{4}{a}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$|2a|•|$\frac{4}{a}$|=4为定值．  
（2）解∵OM=ON，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，K_MN=-2，则直线OC的斜率k=$\frac{\frac{2}{a}}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=2或a=-2．
∴圆心为C（2，1）或C（-2，-1），
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5．
由于当圆方程为（x+2）²+（y+1）²=5时，直线2x+y-4=0到圆心的距离d＞r，
此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴所求的圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．

点评 本题主要考查求圆的标准方程，两条直线垂直的性质，属于中档题．