Question

13．若函数f（x）=ax²+（a²+1）x-a（a＞0）的一个零点为x₀，则x₀的最大值为$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 利用求根公式求出x₀，得出x₀关于a的函数，令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，则将函数转化为x₀关于t的函数，利用导数求出函数的最大值即可．

解答 解：解方程得x=$\frac{-{a}^{2}-1±\sqrt{（{a}^{2}+1）^{2}+4{a}^{2}}}{2a}$，
∴x₀=$\frac{-{a}^{2}-1+\sqrt{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}}{2a}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{\frac{{a}^{4}+6{a}^{2}+1}{4{a}^{2}}}$=-（$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$）+$\sqrt{（\frac{a}{2}+\frac{1}{2a}）^{2}+1}$，
令t=$\frac{a}{2}$+$\frac{1}{2a}$，则t≥2$\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，x₀=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，
设g（t）=-t+$\sqrt{{t}^{2}+1}$，则g′（t）=-1+$\frac{t}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=$\frac{t-\sqrt{{t}^{2}+1}}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$＜0，
∴g（t）在[1，+∞）上单调递减，
∴g（t）≤g（1）=$\sqrt{2}$-1，
∴x₀的最大值为$\sqrt{2}$-1，
故答案为：$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数最值的计算，换元法解题思想，属于中档题．