Question

3．已知定义在R上的函数y=f（x）满足：①对于任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x-2）；②函数y=f（x+2）是偶函数；③当x∈（0，2]时，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，a=f（-5），b=f（$\frac{19}{2}$）．c=f（$\frac{41}{4}$），则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． c＜a＜b
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 根据条件分别判断函数的周期性和对称性，结合函数单调性，进行转化求解即可．

解答 解：由f（x+2）=f（x-2）得f（x+4）=f（x），即函数的周期是4，
∵函数y=f（x+2）是偶函数，∴f（-x+2）=f（x+2），即函数关于x=2对称，
当x∈（0，2]时，f（x）=e^x-$\frac{1}{x}$为增函数，
则f（-5）=f（-5+8）=f（3）=f（1），
f（$\frac{19}{2}$）=f（$\frac{19}{2}$-8）=f（$\frac{3}{2}$），
f（$\frac{41}{4}$）=f（$\frac{41}{4}$-8）=f（$\frac{9}{4}$）=f（$\frac{1}{4}$+2）=f（-$\frac{1}{4}$+2）=f（$\frac{7}{4}$），
∵1＜$\frac{3}{2}$＜$\frac{7}{4}$，∴f（1）＜f（$\frac{3}{2}$）＜f（$\frac{7}{4}$），
即a＜b＜c，
故选：A

点评 本题主要考查函数值的大小比较，利用函数周期性，对称性以及单调性的性质进行转化是解决本题的关键．