Question

若不等式1+

4

x2+x

-

k

x

≥0对一切x＞0恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：不等式1+

4

x2+x

-

k

x

≥0对一切x＞0恒成立，转化为x+

4

x+1

≥k（x＞0）恒成立，利用求最值，即可求出实数k的取值范围．

解答： 解：由题，1+

4

x2+x

≥

k

x

，
∵x＞0，∴x+

4

x+1

≥k．
而g(x)=x+

4

x+1

=x+1+

4

x+1

-1≥2

(x+1)( 4 x+1 )

-1=3，
当且仅当x+1=

4

x+1

，即x=1时g（x）取最小值3．
故k≤3．
故答案为：（-∞，3]．

点评：本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化，转化为x+

4

x+1

≥k是解题的关键．