Question

5．已知函数f（x）满足f（x+$\frac{3}{4}$）=f（x-$\frac{3}{4}$），当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=|log₂x|，则方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的实根个数为2．

Answer 1

分析 求出f（x）的周期为$\frac{3}{2}$，作出当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=|log₂x|的图象，平移可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，5]的图象，由题意只要求函数y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交点个数．通过图象观察，即可得到所求个数．

解答 解：函数f（x）满足f（x+$\frac{3}{4}$）=f（x-$\frac{3}{4}$），
可得f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{3}{4}$+$\frac{3}{4}$）=f（x+$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$）=f（x），
即有f（x）的最小正周期为$\frac{3}{2}$，
作出当x∈[$\frac{1}{2}$，2]时，f（x）=|log₂x|的图象，
平移可得f（x）在[$\frac{1}{2}$，5]的图象，
方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的实根个数即为函数y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交点个数．
由f（x）的最大值为1，log_π$\frac{7}{2}$＞1，
可得y=f（x）和y=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的交点个数为2．
则方程f（x）=log_πx在[$\frac{1}{2}$，5]的实根个数为2．
故答案为：2．

点评 本题考查方程的解个数问题的解法，注意运用转化思想，以及数形结合的思想方法，求出函数的周期，画出函数的图象是解题的关键，属于中档题．