Question

16．已知函数f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1．
（1）求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与二倍角公式化简函数f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1为y=$4sin（2x+\frac{π}{6}）-1$．后求函数f（x）的最大值及此时x的值；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且对f（x）定义域中的任意的x都有f（x）≤f（A），推出f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π），求出A，通过余弦定理，和基本不等式确定bc的范围，然后求出$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$的表达式，即可求出它的最大值．

解答 解：f（x）=4$\sqrt{3}$sinxcosx-4sin²x+1=$2\sqrt{3}sin2x-4×\frac{1-cos2x}{2}+1$
=$2\sqrt{3}sin2x+2cos2x-1$=$4（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x）-1$
=$4sin（2x+\frac{π}{6}）-1$；
当$2x+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$时，f（x）_max=3；
（2）由f（A）是f（x）的最大值及A∈（0，π）得到，A=$\frac{π}{6}$，
将a=2，A=$\frac{π}{6}$代入b²+c²-a²=2bccosA，可得${b}^{2}+{c}^{2}-4=\sqrt{3}bc$，
又∵b²+c²≥2bc，∴$\sqrt{3}$bc≥2bc-4，则bc≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$=4（2+$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=bccosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$bc≤6+4$\sqrt{3}$，当且仅当b=c时，$\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$最大，最大值为6+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角函数的最值，平面向量数量积的坐标表示，基本不等式的应用，二倍角和两角和的正弦函数的应用是解题的关键，解答（2）的关键是挖掘f（A）是f（x）的最大值，属中档题．