Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆上一点到右焦点的最大距离与最小距离之差为$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点A（4，-2），过原点且斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆交于两点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），求△APQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且椭圆上一点到右焦点的最大距离与最小距离之差为$4\sqrt{3}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）过原点且斜率为k（k＞0）的直线l的方程为y=kx，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、均值定理能求出△APQ面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
且椭圆上一点到右焦点的最大距离与最小距离之差为$4\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
∴b=$\sqrt{16-12}$=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）∵过原点且斜率为k（k＞0）的直线l的方程为y=kx，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²-16=0，
∴x²=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$，
∵P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
∴|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}×2×\sqrt{\frac{16}{1+4{k}^{2}}}$，
又∵点A（4，-2）到直线l：y=kx的距离d=$\frac{2|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△APQ的面积S_△APQ=$\frac{1}{2}|PQ|•d$=8×$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+4{k}^{2}}}$=8×$\sqrt{\frac{4{k}^{2}+4k+1}{1+4{k}^{2}}}$
=8×$\sqrt{1+\frac{4k}{1+4{k}^{2}}}$=8×$\sqrt{1+\frac{4}{\frac{1}{k}+4k}}$，
当k＞0时，4k+$\frac{1}{k}$≥4（当且仅当k=$\frac{1}{2}$时取“=”），
∴当k=$\frac{1}{2}$时，△APQ面积取最大值8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、均值定理的合理运用．