Question

17．在极坐标系中，已知圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，
（Ⅰ）求圆C的面积；
（Ⅱ）直线与圆C相交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得直角坐标方程，配方可得圆的标准坐标方程，可得圆的半径，即可多得出面积．
（Ⅱ）直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，利用互化公式可得直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心（1，1）到直线的距离d，再利用弦长公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展开可得：ρ²=2$\sqrt{2}$ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x²+y²=2$\sqrt{2}$（x+y），
配方可得：圆的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2，
圆的半径为$\sqrt{2}$，∴面积为2π．
（Ⅱ）直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+1=0，可得：直线的直角坐标方程为x-y+1=0，
圆心（1，1）到直线的距离为$\frac{|1-1+1|}{{\sqrt{1+1}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$|AB|=2\sqrt{{{（\sqrt{2}）}^2}-{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\sqrt{6}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的面积、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．