Question

14．若函数f（x）=e^x（x²+ax+b）有极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且f（x₁）=x₁，则关于x的方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根的个数为3．

Answer 1

分析 求出f（x）的导数，问题转化为方程x²+（2+a）x+a+b=0有两个不相同的实数根，结合二次函数的性质判断即可．

解答 解：函数f（x）有两个不相同的极值点，
即f′（x）=e^x[x²+（2+a）x+a+b]=0有两个不相同的实数根x₁，x₂，
也就是方程x²+（2+a）x+a+b=0有两个不相同的实数根，
所以△=（2+a）²-4（a+b）＞0；
由于方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判别式△′=△，
故此方程的两个解为f（x）=x₁或f（x）=x₂．
由于函数y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数即为方程f（x）=x₁的解的个数，
函数y=f（x）的图象和直线y=x₂的交点个数即为方程f（x）=x₂的解的个数．
根据函数的单调性以及f（x₁）=x₁，
可知y=f（x）的图象和直线y=x₁的交点个数为2，
y=f（x）的图象和直线y=x₂的交点个数为1．
所以f（x）=x₁或f（x）=x₂共有三个不同的实数根，
即关于x的方程f²（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同实根个数为3，
故答案为：3．

点评 本题难度中等偏上，是导数单调性、极值点与解一元 二次方程的综合题目，求解的关键是判断出函数的单调性，并将方程解的个数问题转化为函数图象的交点个数问题．