Question

如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．
（Ⅰ）求证：AB∥GH；
（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得EF∥AB，DC∥AB，从而EF∥DC．进而EF∥平面PCD． 由此能证明AB∥GH．
（Ⅱ）以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．

解答： （本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，…（1分）
∴EF∥AB，DC∥AB，…（2分）
∴EF∥DC．
又EF?平面PCD，DC?平面PCD，
∴EF∥平面PCD． …（3分）
又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD=GH，…（4分）
∴EF∥GH．
又EF∥AB，
∴AB∥GH．…（6分）
（Ⅱ）解：在△ABQ中，∵AQ=2BD，AD=DQ，∴∠ABQ=90°，即AB⊥BQ．
又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP两两垂直．
以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．设BA=BQ=BP=2，
则B（0，0，0），Q（0，2，0），D（1，1，0），
C（0，1，0），P（0，0，2），
∴

DP

=（-1，-1，2），

CP

=（0，-1，2）．…（8分）
设平面PCD的一个法向量为

n

=（x，y，z），
由

n

•

DP

=0，

n

•

CP

=0，得

-x-y+2z=0 -y+2z=0

，取z=1，得

n

=（0，2，1）．…（10分）
又

BQ

=（0，2，0）为平面PAB的一个法向量，
∴cos＜n，

BQ

＞=

2×2

5 ×2

=

2 5

5

．
设平面PAB与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

．
故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为

5

5

．…（12分）

点评：本题考查两条直线平行的证明，考查平面与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．