Question

14．已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=m有且只有一个公共点，求m的取值范围；
（Ⅱ）过点P（2，-6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出其导函数，利用其导函数求出其极值，求出m的范围即可；
（II）先根据解析式设出切点坐标，利用点斜式和f′（x）求出切线方程，再把点P（2，-6）代入切线方程，求出切点的横坐标x₀，再代入切线方程化简即可．

解答 解：（Ⅰ）令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1，
可求得f（x）的极大值为f（-1）=2，极小值为f（1）=-2，
故当满足-2＜m＜2时，恰有三个不同公共点．
（II）∵f（x）=x³-3x，∴设切点为Q（x₀，x03-3x0），
则所求切线方程为：y-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（x-x₀）①，
∵切线过点P（2，-6），∴-6-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（2-x₀），
解得x₀=0或x₀=3，代入①化简得y=-3x或y+6=24（x-2），
∴切线方程为3x+y=0或24x-y-54=0．

点评 本题考查了导数的几何意义，以及切点在曲线和切线上的应用，注意“在某点处的切线”和“过某点处的切线”的区别和求法．