Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$\frac{sinC}{sinA•cosB}=\frac{2c}{a}$．
（1）求B．
（2）若cosA=$\frac{1}{4}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得$\frac{sinC}{sinA•cosB}$=$\frac{2c}{\frac{c•sinA}{sinC}}$，由于sinA≠0，sinC≠0，化简可得：cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式即可计算得解sinC的值．

解答 解：（1）∵$\frac{sinC}{sinA•cosB}=\frac{2c}{a}$．
又∵由正弦定理可得：a=$\frac{c•sinA}{sinC}$，
∴$\frac{sinC}{sinA•cosB}$=$\frac{2c}{\frac{c•sinA}{sinC}}$，由于sinA≠0，sinC≠0，化简可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵cosA=$\frac{1}{4}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．