Question

设一动直线l与曲线C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，此直线和x、y轴的交点分别为A、B，且OA=a，OB=b（a＞2，b＞2）
（1）a、b之间满足什么关系？
（2）求△OAB的面积的最小值．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可得直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．再根据圆心C（1，1）到直线l的距离等于半径1，化简可得a、b之间满足的关系．
（2）由以上可得△OAB的面积为S=

1

2

ab，再由条件利用基本不等式求得

ab

≥2+

2

，即ab≥6+4

2

，可得S=

1

2

ab的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得，动直线l的方程为

x

a

+

y

b

=1，即 bx+ay-ab=0．
再根据圆心C（1，1）到直线l的距离等于半径1，可得

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
化简可得 2a+2b=ab+2．
（2）由以上可得△OAB的面积为S=

1

2

ab，
∵a＞2，b＞2，
∴2a+2b=ab+2≥2

4ab

=4

ab

，
解得

ab

≥2+

2

，或

ab

≤2-

2

 （舍去），
∴ab≥6+4

2

，∴S=

1

2

ab≥3+2

2

，
即S=

1

2

ab的最小值为3+2

2

．

点评：本题主要考查用截距式求直线的方程，直线和圆相切的性质，基本不等式的应用，属于基础题．