Question

设函数f（x）=3ax²-2（a+b）x+b，其中a＞0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．（其中，max{x，y}=

x， x≥y y， x＜y

）

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：不等式

分析：由于函数的对称轴为x=

a+b

3a

，0≤x≤1，故需要进行分类讨论，当

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0时，f（x）在[0，1]上是单调函数，当0＜

a+b

3a

＜1时，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．从而可证得结论．

解答： 解：f（x）=3ax²-2（a+b）x+b=3a（x-

a+b

3a

）²-

a2+b2-ab

3a

（1）当

a+b

3a

≥1，

a+b

3a

≤0时，f（x）在[0，1]上是单调函数，
所以f（1）≤f（x）≤f（0），或f（0）≤f（x）≤f（1），且f（0）+f（1）=a＞0．
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
（2）当0＜

a+b

3a

＜1时，即-a＜b＜2a，则-

a2+b2-ab

3a

≤f（x）≤max{f（0），f（1）}．
①当-a＜b≤

b

2

时，则则0＜a+b≤

3

2

a，
所以  f（1）-

a2+b2-ab

3a

=

2a2-b2-2ab

3a

=

3a2-(a+b)2

3a

≥

1

4

a2＞0，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
②当

a

2

＜b＜2a时，则(b-

a

2

)(b-2a)＜0，即即a²+b²-

5

2

ab＜0，
所以b-

a2+b2-ab

3a

=

4ab-a2-b2

3a

＞

5 2 ab-a2-b2

3a

＞0，即f（0）＞

a2+b2-ab

3a

，
所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．
综上所述：当0≤x≤1时，所以|f（x）|≤max{f（0），f（1）}．

点评：本题以函数为载体，主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于零；当函数为减函数时，导数小于零，考查二次函数的最值，解题的关键是分类讨论．