Question

已知直线l：

x=1+t y= 3 t

（t为参数），曲线C₁：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数）．
（1）设l与C₁相交于A、B两点，求|AB|的值；
（2）若把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的

1

4

，纵坐标压缩为原来的

3

4

，得到曲线C₂，设点P是曲线C₂上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以将曲线C₁的方程转化为普通方程，再将直线l：

x=1+t y= 3 t

（t为参数），方程代入后，求出交点A、B对应的参数t₁，t₂，得到两个参数的和与积，再利用交点点A、B两点的坐标与参数t₁，t₂的关系，求出|AB|的值，也可以将直线l的方程化成普通方程后，利用弦长公式求出出|AB|的值，得到本题结论；
（2）将曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的

1

4

，纵坐标压缩为原来的

3

4

，利用曲线的变换规律，求出到曲线C₂的方程，再将直线l平移到与曲线C₂的相切，
利用根据的判断式为0，求出平移后的直线方程，利用两直线间距离公式，求出两平行线距离，得到曲线C₂上的一个动点P到直线l的距离的最小值．

解答： 解：（1）∵曲线C₁：

x=2cosθ y=2sinθ

（θ为参数），
∴消去参数θ，得到C₁：x²+y²=4．
∵直线l：

x=1+t y= 3 t

（t为参数），
∴（t+1）²+（

3

t）²=4，
∴4t²+2t-3=0．
∴（t₂-t₁）²=（t₂+t₁）²-4t₁t₂=(-

2

4

)2-4×

-3

4

=

13

4

．
设l与C₁相交于A、B两点，则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
|AB|²=(x2-x1)2+(y2-y1)2
=[（1+t₂）-（1+t₁）]²+[

3

t2-

3

t1]²
=4（t₂-t₁）²
=13．
∴|AB|=

13

．
（2）∵把曲线C₁上各点的横坐标压缩为原来的

1

4

，纵坐标压缩为原来的

3

4

，得到曲线C₂，
∴由C₁：x²+y²=4得
C₂：（4x）²+（

4

3

y）²=4，
∴

x2

1 4

+

y2

3 4

=1．
∵直线l：

x=1+t y= 3 t

（t为参数），
∴y=

3

x-

3

．
 将y=

3

x+m代入

x2

1 4

+

y2

3 4

=1，
∴24x2+8

3

mx+4m2-3=0，
令△=0，
m2=

3

2

，
∴m=±

6

2

．
取m=-

6

2

，得到直线：y=

3

x-

6

2

，
∵直线y=

3

x-

6

2

与直线y=

3

x-

3

的距离为：
d=

| 6 2 - 3 |

3+1

=

2 3 - 6

4

，
∴曲线C₂上的一个动点P到直线l的距离的最小值为

2 3 - 6

4

．

点评：本题考查了曲线的参数方程与普通方程的互化，直线的平移、直线与曲线的位置关系、距离最值，本题有一定的综合性，属于中档题．