Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明{a_n}为等差数列；
（2）记b_n=

1

anan+1

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若?n∈N^*，T_n＞m，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）根据数列{a_n}的前n项和S_n，表示出数列{a_n}的前n-1项和S_n-1，两式相减即可求出此数列的通项公式，然后把n=1代入也满足，故此数列为等差数列，求出的a_n即为通项公式；
（2）利用裂项法求和，再根据数列的单调性，即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）当n=1时，S₁=1²=1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
又n=1时，a₁=2-1=1，满足通项公式，
∴此数列为等差数列，其通项公式为a_n=2n-1；…4分
∵a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}为等差数列；…6分
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

），…10分
Tn=

1

2

(1-

1

2n+1

)在n∈N^*上单调递增，所以n=1时(Tn)min=

1

3

∴m的取值范围是(-∞，

1

3

)…14分．

点评：此题考查了等差数列的通项公式，考查裂项法，灵活运用a_n=S_n-S_n-1求出数列的通项公式是关键．