Question

设动点A、B均在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支上，点O为坐标原点，双曲线C的离心率为e，则（　　）

• A、若e＞

  2

  ，则

  OA

  •

  OB

  存在最大值
• B、若1≤e≤

  2

  ，则

  OA

  •

  OB

  存在最大值
• C、若e＞

  2

  ，则

  OA

  •

  OB

  存在最小值
• D、若1＜e≤

  2

  ，则

  OA

  •

  OB

  存在最小值

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：取特例即等轴双曲线分析，然后结合四个选项得答案．

解答： 解：当双曲线的离心率为

2

时，双曲线为等轴双曲线，设其方程为x²-y²=a²，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁＞0，x₂＞0且x1x2＞a2，

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂≥x1x2-

x12-a2

•

x22-a2

=x1x2-

(x1x2)2-a2(x12+x22)+a4

≥x1x2-

(x1x2)2-2a2x1x2+a4

=x1x2-

(x1x2-a2)2

=x1x2-|x1x2-a2|
=a²．
∴

OA

•

OB

存在最小值．
结合题目给出的四个选项，可得D正确．
故选：D．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．