Question

已知PA⊥△ABC所在的平面，∠ABC=90°，E、F分别是PB、PC上的点，且AE⊥PB．
（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若AB=4，BC=3，PA=2，求二面角A-PC-B的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先利用线面垂直得到，线线垂直，进一步利用线线垂直转化出线面垂直，再得到面面相垂直．
（2）利用第一步的结论AE⊥平面PBC，AE⊥PC，过E做EG⊥PC，连接AG．则：PC⊥平面AEG，所以∠AGE就是二面角A-PC-B的平面角．在△APB中，AB=4，BC=3，PA=2，利用面积相等：PA•AB=PB•AE解得：AE=

4 5

5

在△PAC中，利用面积相等：AC•PA=PC•AF，解得：AF=

10 29

29

，最后解得：sin∠AGE=

AE

AG

=

2 145

25

解答： 证明：（1）PA⊥△ABC所在的平面，
所以：PA⊥BC
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB
∴BC⊥平面PAB
AE?平面PAB
BC⊥AE
∵E、F分别是PB、PC上的点，
且AE⊥PB．
∴AE⊥平面PBC
AE?平面AEF
∴平面AEF⊥平面PBC
解：（2）利用（1）的结论AE⊥平面PBC
∴AE⊥PC
过E做EG⊥PC，连接AG
则：PC⊥平面AEG
所以∠AGE就是二面角A-PC-B的平面角．
在△APB中，AB=4，BC=3，PA=2，
利用面积相等：PA•AB=PB•AE
解得：AE=

4 5

5

在△PAC中，利用面积相等：AC•PA=PC•AF
解得：AF=

10 29

29

sin∠AGE=

AE

AG

=

2 145

25

故二面角A-PC-B的平面角为arcsin

2 145

25

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定和性质定理，面面垂直的判定定理，勾股定理的应用，二面角平面角的做法，及相关的运算问题．属于基础题型．