Question

1．已知矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1

（I）求证：DA⊥面ABC
（II）求二面角A-CD-B的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠DAB=90°，DA⊥AC，由此能证明DA⊥面ABC．
（Ⅱ）取AB，DB的中点O，N，则直线OC，ON，OA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵矩形ABCD中，$AB=\sqrt{2}$，BC=1，现沿对角线BD折成二面角C-BD-A，使AC=1，
∴∠DAB=90°，$DA=1，DC=\sqrt{2}$，
∴DC²=AC²+DA²，则DA⊥AC，
又AB∩AC=A，
∴DA⊥面ABC．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知DA⊥面ABC，则平面CAB⊥平面ABD，
又AC=BC，∠DAB=90°，取AB，DB的中点O，N，
则直线OC，ON，OA两两垂直，建立如图所示的直角坐标系，
则$A（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，$D（1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$$C（0，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$B（0，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0）$，
则$\overrightarrow{DC}=（-1，-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（1，0，0）$，$\overrightarrow{BD}=（1，\sqrt{2}，0）$，
设平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=-x-\frac{\sqrt{2}}{2}y+\frac{\sqrt{2}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=x+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，-1，1），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=-a-\frac{\sqrt{2}}{2}b+\frac{\sqrt{2}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0-1+1=0，
∴平面ACD⊥平面BCD，
∴二面角A-CD-B的大小为$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．