Question

6．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，2a₁+1=a₂．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 若数列{b_n}满足a_n=log₂（b_n-n），求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件求出首项与公差，然后求解通项公式．
（2）求出b_n，然后求解数列的和．

解答 解：（1）由已知S₄=4S₂，2a₁+1=a₂．可得4a₁+6d=4a₁+4d，2a₁+1=a₁+d，
解得a₁=1，d=2，…..（4分）
则a_n=2n-1…..（6分）
（2）数列{b_n}满足a_n=log₂（b_n-n），${b_n}={2^{a_n}}+n={2^{2n-1}}+n$，…（8分）
则${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}={2^1}+{2^3}+…+{2^{2n-1}}+1+2+…+n$
=$\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}+\frac{n（n+1）}{2}=\frac{2}{3}（{4^n}-1）+\frac{n（n+1）}{2}$…..（12分）

点评 本题考查数列的通项公式以及数列求和，数列的递推关系式的应用，考查计算能力．