Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R），其图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）设g（x）=

1+k•f′(x)

x

，（x≠0），求函数g（x）在区间[1，2]上的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由导数的运算法则可得f′（x）=x²-2ax+a²-1．由于函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．可得

f(1)=2 f′(1)=-1

，解出即可；
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

．由导数的运算法则可得f′（x）=x²-2x，分别解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得出单调区间；
（3）由（2）可得：g（x）=

1+k•f′(x)

x

=

1+k(x2-2x)

x

=kx+

1

x

-2k，（x≠0），x∈[1，2]．进而得到g′(x)=k-

1

x2

=

kx2-1

x2

．
对k分类讨论：当k≤0时，当k＞0时，再讨论当

1 k

≥2时，当

1 k

≤1时，当1＜

1 k

＜2时，再利用导数与函数单调性的关系即可得出极值与最值．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-2ax+a²-1．
∵函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0．
∴

f(1)=2 f′(1)=-1

，即

1 3 -a+a2-1+b=2 1-2a+a2-1=-1

，解得

a=1 b= 8 3

．
∴a=1，b=

8

3

．
（2）由（1）可得：f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

．
f′（x）=x²-2x，
令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，∴函数f（x）在区间（-∞，0），（2，+∞）上单调递增；
令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，∴函数f（x）在区间（0，2）上单调递减．
∴函数f（x）在x=0时取得极大值，f（0）=

8

3

；在x=2时取得极小值，f（2）=

4

3

．
（3）g（x）=

1+k•f′(x)

x

=

1+k(x2-2x)

x

=kx+

1

x

-2k，（x≠0），x∈[1，2]．
g′(x)=k-

1

x2

=

kx2-1

x2

．
当k≤0时，g′（x）＜0，函数f（x）在区间[1，2]单调递减，最小值为g（2）=2k+

1

2

-2k=

1

2

．
当k＞0时，g′（x）=

k(x+ 1 k )(x- 1 k )

x2

．
当

1 k

≥2，即0＜k≤

1

4

时，g′（x）≤0，此时函数g（x）在区间[1，2]单调递减，最小值为g（2）=2k+

1

2

-2k=

1

2

．
当

1 k

≤1时，即k≥1时，g′（x）≥0，此时函数g（x）在区间[1，2]单调递增，最小值为g（1）=k+1-2k=1-k．
当1＜

1 k

＜2时，即

1

4

＜k＜1时，当1≤x＜

1 k

时，g′（x）＜0，此时函数g（x）在区间[1，

1 k

)单调递减；
当

1 k

＜x≤2时，g′（x）＞0，此时函数g（x）在区间(

1 k

，2]单调递增．
∴函数g（x）在x=

1 k

时取得极小值，即最小值，g(

1 k

)=2

k

-2k．

点评：本题综合考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线方程，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．