Question

已知圆O：x²+y²=1和点M（1，4）．
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线y=2x-8截得的弦长为8的圆M的方程；
（3）设P为（2）中圆M上任意一点，过点P向圆O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得

PQ

PR

为定值？若存在，请求出定点R的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）M（1，4）在圆外，切线有两条；
（2）求出点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离，利用弦长，可求圆M的方程；
（3）假设存在定点R，使得

PQ

PR

为定值，设R（a，b），P（x，y），

PQ2

PR2

=λ，可得（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*），若使（*）对任意x，y恒成立，则

2-2λ+2aλ=0 8-8λ+2bλ=0 18-19λ-a2λ-b2λ=0

，即可得出结论．

解答： 解：（1）若过点M的直线斜率不存在，直线方程为：x=1，为圆O的切线； …（1分）
当切线l的斜率存在时，设直线方程为：y-4=k（x-1），即kx-y-k+4=0，
∴圆心O到切线的距离为：

|-k+4|

k2+1

=1，解得：k=

15

8

∴直线方程为：15x-8y+17=0．
综上，切线的方程为：x=1或15x-8y+17=0…（4分）
（2）点M（1，4）到直线2x-y-8=0的距离为：d=

|2-4-8|

5

=2

5

，
又∵圆被直线y=2x-8截得的弦长为8，
∴r=

(2 5 )2+42

=6…（7分）
∴圆M的方程为：（x-1）²+（y-4）²=36…（8分）
（3）假设存在定点R，使得

PQ

PR

为定值，设R（a，b），P（x，y），

PQ2

PR2

=λ
∵点P在圆M上，∴（x-1）²+（y-4）²=36，则x²+y²=2x+8y+19…（10分）
∵PQ为圆O的切线，∴OQ⊥PQ，
∴PQ²=PO²-1=x²+y²-1，PR²=（x-a）²+（y-b）²，
∴x²+y²-1=λ[（x-a）²+（y-b）²]，即2x+8y+19-1=λ（2x+8y+19-2ax-2by+a²+b²）
整理得：（2-2λ+2aλ）x+（8-8λ+2bλ）y+（18-19λ-a²λ-b²λ）=0（*）
若使（*）对任意x，y恒成立，则

2-2λ+2aλ=0 8-8λ+2bλ=0 18-19λ-a2λ-b2λ=0

…（13分）
∴

a= λ-1 λ b= 4λ-4 λ

，代入得：18-19λ-(

λ-1

λ

)2λ-(

4λ-4

λ

)2λ=0
整理得：36λ²-52λ+17=0，解得：λ=

1

2

或λ=

17

18

∴

λ= 1 2 a=-1 b=-4

或

λ= 17 18 a=- 1 17 b=- 4 17

∴存在定点R（-1，-4），此时

PQ

PR

为定值

2

2

或定点R(-

1

17

，-

4

17

)，此时

PQ

PR

为定值

34

6

．…（16分）

点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程，是一道综合题．