Question

已知f（x）=cosωx•sinωx+

3

cos²ωx-

3

2

（0＜ω≤1），且满足f（x+π）=f（x）
（Ⅰ）求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，y=f（x）的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程3[f（x）]²+m•f（x）-1=0在x∈[-

π

12

，

5π

12

]时有三个不相等实根，求m的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,根的存在性及根的个数判断,两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式、辅助角公式化简，结合f（x+π）=f（x），即可求出y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，确定2x+

π

3

的范围，即可确定y=f（x）的取值范围；
（Ⅲ）f（x）=1满足方程，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cosωx•sinωx+

3

cos²ωx-

3

2

=

1

2

sin2ωx+

3

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

3

），
∵f（x+π）=f（x），∴T=π，
∴

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

）；
（Ⅱ）当x∈[-

π

12

，

5π

12

]时，2x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，∴sin（2ωx+

π

3

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-

1

2

，1]；
（Ⅲ）∵关于x的方程3[f（x）]²+m•f（x）-1=0在x∈[-

π

12

，

5π

12

]时有三个不相等实根，
∴f（x）=1满足方程，
∴m=-2．

点评：本题考查二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．