Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin²

B+C

2

-cos2A=

7

2

．
（Ⅰ）求角A的大小
（Ⅱ）求sinBsinC的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用诱导公式化简，整理后再利用二倍角的余弦函数公式化简，变形求出cosA的值，即可确定出角A的大小；
（Ⅱ）由A的度数表示出B+C的度数，用B表示出C，代入所求式子，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域即可确定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，
∴sin

B+C

2

=sin

π-A

2

=cos

A

2

，
由已知等式变形得：4cos²

A

2

-cos2A=

7

2

，即2（1+cosA）-（2cos²A-1）=

7

2

，
整理得：（2cosA-1）²=0，
解得：cosA=

1

2

，
∵A是三角形的内角，
∴A=

π

3

；
（Ⅱ）sinBsinC=sinBsin（

2π

3

-B）=

3

2

sinBcosB+

1

2

sin²B=

3

4

sin2B+

1

4

（1-cos2B）=

1

2

sin（2B-

π

6

）+

1

4

，
当2B-

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，sinBsinC取最大值

3

4

．

点评：此题考查了诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．