Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）在空间中与点A距离为

1

3

的所有点构成曲面S，曲面S将正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁分为两部分，若设这两部分的体积分别为V₁，V₂（其中V₁＞V₂），求的

V1

V2

值；
（2）在正方体表面上与点A的距离为

2

3

3

的点形成一条空间曲线，求这条曲线的长度．

Answer 1

考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题,棱柱、棱锥、棱台的体积,球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据V₂对应的几何体为空间中与点A距离不大于

1

3

的所有点构造的几何体，即一个

1

8

球，求出体积后，进而求出V₁，可得

V1

V2

值；
（2）在正方体表面上与点A的距离为

2

3

3

的点形成的曲线是六段圆弧，分别求出其长度后，相加可得答案．

解答： 解：（1）根据V₂对应的几何体为空间中与点A距离不大于

1

3

的所有点构造的几何体，
即一个

1

8

球，
该球的半径为：

1

3

，
∴V2=

1

8

×

4

3

π×(

1

3

)3=

π

162

，
∴V1=1-

π

162

，
则

V1

V2

=

1- π 162

π 162

=

162-π

π

．
（2）由题意：以A球心，

2

3

3

为半径的球面与正方体AC₁各侧面的截交线均为圆弧段．
球面与侧面AC、AB₁、AD₁所截得的圆弧段，如下图所示：

由AE=

2

3

3

，AB=1，则cos∠EAB=

3

2

，则∠EAB=

π

6

，进而∠EAF=

π

6

，
故这三段弧可视作均以A为圆心，圆心角均为

π

6

，半径均为

2

3

3

的圆弧，
从而相应圆弧段长为

π

6

×

2

3

3

=

3

9

π；
球面与侧面C₁A₁、C₁B、C₁D所截得的圆弧段，
可视作分别以A₁、B、D为圆心，圆心角均为

π

2

，
半径均为

( 2 3 3 )2-12

=

3

3

的圆弧，
从而相应圆弧段长为

π

2

×

3

3

=

3

6

π；
从而球面与整个正方体相相截所得的空间区间长为3×(

3

6

π+

3

9

π)=

5

6

3

π．

点评：本题考查的知识点是球的体积，弧长公式，正方体的几何特征，球的几何特征，要求有较强的空间想像能力及运算能力，属于难题．