Question

已知抛物线y²=x上相异两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=2．
（1）若AB的中垂线经过点P（0，2），求直线AB的方程；
（2）若AB的中垂线交x轴于点M，求△ABM的面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设AB的中点Q（1，t），由已知条件推导出t=

2

3

，由此能求出直线AB的方程．
（2）l_AB：x-2ty+2t²-1=0，联立

y2=x x-2ty+2t2-1=0

，得y²-2ty+2t²-1=0，由此利用两点间距离公式、韦达定理、弦长公式和根的判别式能求出△ABM的面积的最大值．

解答： （本题满分15分）
解：（1）设AB的中点Q（1，t），
则kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y2-y1

y22-y12

=

1

y2+y1

=

1

2t

，
l_PQ：y-t=-2t（x-1）…（3分）
令x=0，y=2，则2-t=2t，解得t=

2

3

，
∴kAB=

3

4

…（5分）∴l_AB：y-t=

3

4

(x-1)，
即：9x-12y-1=0…（6分）
（2）∵l_PQ：y-t=-2t（x-1）
令y=0，则-t=-2t（x-1），
∴x=

3

2

，即M(

3

2

，0)，l_AB：y-t=

1

2t

(x-1)，即x-2ty+2t²-1=0，
∴dM-AB=

| 3 2 -1+2t2|

1+4t2

=

| 1 2 +2t2|

1+4t2

=

1

2

1+4t2

…（8分）
联立

y2=x x-2ty+2t2-1=0

，得y²-2ty+2t²-1=0，
∴

△=-4t2+4＞0 y1+y2=2t y1y2=2t2-1

，∴-1＜t＜1，
∴|AB|=

1+ 1 k2

4t2-8t+4

=

1+4t2

4-4t2

…（11分）
∴S=

1

2

|AB|d=

1+4t2

2

1-t2

…（12分）
令

1-t2

=m，则t²=1-m²，
∵t∈（-1，1），∴m²∈（0，1），
∴S=[1+4（1-m²）]m=5m-4m³，
令S'=5-12m²=0，
∴当m2=

5

12

时，Smax=

5 15

18

．…（15分）

点评：本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，是要中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．