Question

设数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n²-4n+1．
（1）若a₁=3，求证：存在f（n）=an²+bn+c（a，b，c为常数），使数列{a_n+f（n）}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若a_n是一个等差数列{b_n}的前n项和，求首项a₁的值与数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比数列的性质,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设a_n+1 +a（n+1）²+b（n+1）+c=2（a_n+an²+bn+c），即 a_n+1=2a_n+an²+（b-2a）n+c-a-b，
由已知得

a=1 b-2a=-4 c-a-b=1

，求得a、b、c的值，可得存在f（n）=n²-2n，从而求得 a_n 的解析式．
（2）由可得（a_n+n²-2n）=（a₁-1）•2^n-1，即 a_n=-n²+2n+（a₁-1）•2^n-1，再根据a_n是一个等差数列{b_n}的前n项和，求出求首项a₁的值与数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n²-4n+1，
设a_n+1 +a（n+1）²+b（n+1）+c=2（a_n+an²+bn+c），即 a_n+1=2a_n+an²+（b-2a）n+c-a-b，
∴

a=1 b-2a=-4 c-a-b=1

，即

a=1 b=-2 c=0

．
∵a₁+1-2=2，∴存在f（n）=n²-2n，使数列{a_n+f（n）}是等比数列，
∴a_n+n²-2n=2×2^n-1，
∴a_n=2ⁿ-n²+2n．
（2）∵a_n是一个等差数列{b_n}的前n项和，数列{a_n}满足a_n+1=2a_n+n²-4n+1，
即 a_n+1 +（n+1）²-2（n+1）=2（a_n+n²-n ），
即a_n+1+（n+1）²-2（n+1）=2（a_n+n²-2n），
∴（a_n+n²-2n）=（a₁-1）•2^n-1，故a_n=-n²+2n+（a₁-1）•2^n-1，
∴b_n=

a1，n=1 (a1-1)•2n-2-2n+3，n≥2

．
再根据{b_n}是等差数列，可得b_n的通项公式是关于n的一次函数，
∴a₁=1，a_n=-2n+3．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等比关系的确定，属于中档题．