Question

10．如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PB的中点．
（Ⅰ）证明：AE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最
大角的正切值为$\sqrt{3}$，求二面角B-AF-C的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出PA⊥AE，AE⊥AD，由此能证明AE⊥面PAD；
（2）∠AHE是EH与面PAD所成角，$tan∠AHE=\frac{AE}{AH}，AH⊥PO$时，AH最小，tan∠AHE最大，∠AHE最大，取AB中点M，作MN⊥AF于N，连CN，由三垂线定理得∠MNC是二面角B-AF-C的平面角，由此能求出二面角B-AF-C的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，AE?面ABCD，∴PA⊥AE，
又∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E为BC中点，
∴AE⊥BC，∵AD∥BC，∴AE⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AE⊥面PAD；
解：（2）∵AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成角，
$tan∠AHE=\frac{AE}{AH}，AH⊥PO$时，AH最小，tan∠AHE最大，∠AHE最大，
令AB=2，则$AE=\sqrt{3}，AH=1$，在Rt△AHD中，AD=2，∠ADH=30°，
在Rt△PAD中，$PA=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，∵PA⊥面ABCD，
∴面PAB⊥面ABCD，且交线为AB，取AB中点M，
正△ABC中，CM⊥AB，∴CM⊥面PAB，
作MN⊥AF于N，连CN，由三垂线定理得CN⊥AF，
∠MNC是二面角B-AF-C的平面角.$CM=\sqrt{3}$．
在△PAB中，$BF=AF=\frac{2}{3}\sqrt{3}，AB=2$，边AF上的高$BG=1，MN=\frac{1}{2}$，
∴二面角B-AF-C的正切值$tan∠MNC=\frac{CM}{MN}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．