Question

8．在等比数列{a_n}中，已知a₁=3，公比q≠1，等差数列{b_n}满足b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，等差数列{b_n}的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，列方程组，可得公比和公差，进而得到所求通项公式；
（2）求得c_n=a_n+b_n=3ⁿ+（2n+1），运用数列的求和方法：分组求和，结合等比数列和等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q≠1，等差数列{b_n}的公差为d．
由b₁=a₁，b₄=a₂，b₁₃=a₃，
得$\left\{\begin{array}{l}3q=3+3d\\ 3{q^2}=3+12d\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}q=1+d\\{q^2}=1+4d\end{array}\right.$⇒q=3或1（舍去），d=2，
所以a_n=3ⁿ，b_n=2n+1．
（2）由题意，得c_n=a_n+b_n=3ⁿ+（2n+1），
S_n=c₁+c₂+…+c_n=（3+5+7+…+2n+1）+（3+3²+…+3ⁿ）
=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$+$\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}$=$\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$+n²+2n-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．