Question

13．已知函数f（x）=sin x+cos x．
（1）若f（x）=2f（-x），求$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$的值；
（2）求函数F（x）=f（x）f（-x）+f ²（x），x∈（0，$\frac{π}{2}$）的值域和单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知结合函数的奇偶性可得tanx的值，把$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$转化为正切得答案；
（2）利用降幂公式化简，结合x的范围求得值域，再由复合函数的单调性求得函数的单调增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=sin x+cos x，∴f（-x）=cos x-sin x．
又∵f（x）=2f（-x），∴sin x+cos x=2（cos x-sin x）且cos x≠0，得tan x=$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{1+si{n}^{2}x}$=$\frac{co{s}^{2}x-sinxcosx}{2si{n}^{2}x+co{s}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{2ta{n}^{2}x+1}$=$\frac{6}{11}$；
（2）由题知F（x）=cos²x-sin²x+1+2sin xcos x，
∴F （x）=cos 2x+sin 2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）+1．
∵x∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2x+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}$），则F（x）∈（0，$\sqrt{2}+1$]．
函数的单调增区间为（0，$\frac{π}{8}$]．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，考查三角函数的图象和性质，是中档题．