Question

18．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，D为BC的中点．
（1）证明：A₁B⊥平面AB₁C；
（2）求直线A₁D与平面AB₁C所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）证明A₁A⊥AC．AC⊥A₁B．推出AB₁⊥A₁B．即可证明A₁B⊥平面AB₁C．
（2）连结A₁C，设AB₁∩A₁B=O，连CO，交A₁D于G．说明G为△A₁BC的重心．推出∠A₁GO是A₁D与平面AB₁C所成的角．设AB=AC=AA₁=1，在Rt△A₁OG中，求解直线A₁D与平面AB₁C所成的角为60°．

解答 （1）证明：图1所示，因为A₁A⊥平面ABC，则A₁A⊥AC．
又AC⊥AB，则AC⊥平面AA₁B₁B，所以AC⊥A₁B．（3分）
由已知，侧面AA₁B₁B是正方形，则AB₁⊥A₁B．
因为AB₁∩AC=A，所以A₁B⊥平面AB₁C．（5分）
（2）解：图2所示，连结A₁C，设AB₁∩A₁B=O，连CO，交A₁D于G．
因为O为A₁B的中点，D为BC的中点，则G为△A₁BC的重心．
因为A₁O⊥平面AB₁C，则∠A₁GO是A₁D与平面AB₁C所成的角．（8分）
设AB=AC=AA₁=1，则A₁B=BC=A₁C=$\sqrt{2}$．
得A₁O=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₁G=$\frac{2}{3}$A₁D=$\frac{2}{3}×\sqrt{2}×$sin 60°=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△A₁OG中，sin∠A₁GO=$\frac{{A}_{1}O}{{A}_{1}G}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则∠A₁GO=60°．
所以直线A₁D与平面AB₁C所成的角为60°．（12分）．

点评 本题考查直线与平面市场价的求法，直线与平面垂直的判断，考查空间想象能力以及计算能力．