Question

20．在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα）．
（1）若$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，求$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{1+tanα}$的值；
（2）若f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2在$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$时有最小值-1，求常数t的值．

Answer 1

分析 （1）由已知点的坐标求出两个向量的坐标，结合数量积为-1求得sinαcosα的值，把$\frac{{2{{sin}^2}α+sin2α}}{1+tanα}$化切为弦得答案；
（2）化余弦为正弦，利用配方法分类求f（α）=-2cos²α-tsinα-t²+2得最小值，进一步求得t值得答案．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}=（cosα-3，sinα），\overrightarrow{BC}=（cosα，sinα-3）$，
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}=-1$，
∴cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，即1-3（cosα+sinα）=-1，得$cosα+sinα=\frac{2}{3}$．
平方得：∴$1+2sinαcosα=\frac{4}{9}$，则$2sinαcosα=-\frac{5}{9}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+2sinαcosα}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）}{\frac{sinα+cosα}{cosα}}$=2sinαcosα=$-\frac{5}{9}$；
（2）f（x）=-2cos²α+tsinα-t²+2=$2{（sinα-\frac{t}{4}）^2}-\frac{9}{8}{t^2}$，
设sinα=m，∵$α∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，∴m∈（-1，1），
∴$f（m）=2{（m-\frac{t}{4}）^2}-\frac{9}{8}{t^2}$．
①当$\frac{t}{4}≤-1$，即t≤-4时，无最小值；
②当$\frac{t}{4}≥1$，即t≥4时，无最小值；
③当$-1＜\frac{t}{4}＜1$，即-4＜t＜4时，$sinα=\frac{t}{4}$时取最小值，最小值为$-\frac{9}{8}{t^2}$，
∴$-\frac{9}{8}{t^2}=-1$，$t=±\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，此时$\frac{t}{4}=±\frac{{\sqrt{2}}}{6}∈（-1，1）$，
综上所述，$t=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查平面向量的坐标运算，训练了利用换元法及配方法求函数的最值，是中档题．