Question

10．如图所示，由直线x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及x轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间，即${a^2}＜\int_a^{a+1}{{x^2}dx＜{{（a+1）}^2}}$．类比之，若对?n∈N₊，不等式$\frac{k}{n+1}+\frac{k}{n+2}+…+\frac{k}{2n}＜1n4＜\frac{k}{n}+\frac{k}{n+1}+…+\frac{k}{2n-1}$恒成立，则实数k等于2．

Answer 1

分析 利用定义可得即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$相加求出即可．

解答 解：因为$\frac{k}{n}＜\int{\begin{array}{l}{n+1}\\ n\end{array}}\frac{k}{x}dx＜\frac{k}{n+1}$，
所以$\frac{k}{n}$＜klnx|${\;}_{n}^{n+1}$＜$\frac{k}{k+1}$，
即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$，
同理$\frac{k}{n+1}＜k[ln（n+2）-ln（n+1）]＜\frac{k}{n+2}$，…，$\frac{k}{2n-1}＜k[ln（2n）-ln（2n-1）]＜\frac{k}{2n}$，
累加得$\frac{k}{n+1}+\frac{k}{n+2}+…+\frac{k}{2n}＜k[ln（2n）-lnn）]$$＜\frac{k}{n}+\frac{k}{n+1}+…+\frac{k}{2n-1}$
所以ln4=k[ln（2n）-lnn）]，
所以ln4=kln2，
故k=2，
故答案为：2．

点评 本题考查定积分的简单应用，根据定积分的定义得到即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$是解题的关键，本题是一道中档题．