Question

19．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为菱形，AA₁⊥底面ABCD，E为B₁D的中点．
（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角D-AE-C为60°，AA₁=AB=1，求三棱锥C-AED的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，则EF∥BB₁，从而EF⊥平面ABCD，由此能证明平面ACE⊥平面ABCD．
（Ⅱ）以F为坐标原点，以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥C-ADE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，
因为E为B₁D中点，F为BD中点，
所以EF∥BB₁，
因为BB₁⊥平面ABCD，
所以EF⊥平面ABCD，
又因为EF在平面ACE内，
所以平面ACE⊥平面ABCD．（6分）
解：（Ⅱ）由于四边形ABCD是菱形，所以以F为坐标原点，
分别以FC，FD，FE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设FA=a，FD=b，有a²+b²=1，
A（-a，0，0），C（a，0，0），D（0，b，0），$E（0，0，\frac{1}{2}）$，
$\overrightarrow{AE}=（a，0，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AD}=（a，b，0）$，
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（b，-a，-2ab）$，
平面ACE的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（0，1，0）$，（8分）
由题意知$cos{60°}=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{1}{2}$，解得$a=b=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．（10分）
所以菱形ABCD为正方形，
所以三棱锥C-ADE的体积$V=\frac{1}{3}×EF×\frac{1}{2}×AD×CD=\frac{1}{12}$．（12分）

点评 本题以四棱柱为载体，考查平面与平面垂直，以及二面角、体积等问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．