Question

画出函数y=-（x-3）|x|的图象，
（1）并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数．
（2）若方程-（x-3）|x|=m与x轴有三个交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分两种情况去掉绝对值：
当x≥0时，y=-x（x-3）；当x＜0时，y=x（x-3），这两者都是抛物线的方程，画出抛物线后根据x的限制取舍相应的部分；
（2）构造函数y=m与函数y=-（x-3）|x|，使函数y=m与函数y=-（x-3）|x|有三个交点，求出m的范围．

解答： 解：（1）当x≥0时，y=-x（x-3）；当x＜0时，y=x（x-3），这两个函数均为二次函数，
对称轴方程均为x=

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，图象如下图：

由图象可知，（-∞，0）为减区间，函数在此区间递减；
（0，

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）为增区间，函数在此区间递增；
（

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，+∞）为减区间，函数在此区间递减；
（2）方程-（x-3）|x|=m与x轴有三个交点，
函数y=m与函数y=-（x-3）|x|有三个交点，
从图象上可以看出m∈（0，

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）

点评：带有绝对值符号的函数表达式，要分情况去掉绝对值符号，另外，方程的根的问题可转化为两函数图象的交点问题．