Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形；
②若sinB=cosA，则△ABC是直角三角形；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是锐角三角形；
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题个数是

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：①若sin2A=sin2B，则2A=kπ+（-1）^k•2B，（k∈Z），取k=0，1即可判断出．
②若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)，可得B=

π

2

-A或B=π-(

π

2

-A)，因此△ABC是直角三角形不正确；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则a²+b²＞c²，则C是锐角，但是△ABC不一定是锐角三角形；
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，利用正弦定理可得

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，可得sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，由于A，B，
C∈（0，π），可得A=B=C．

解答： 解：①若sin2A=sin2B，则2A=kπ+（-1）^k•2B，（k∈Z），
当k=0时，A=B，△ABC为等腰三角形；当k=1时，A=

π

2

-B，△ABC为直角三角形；
②若sinB=cosA=sin(

π

2

-A)，∴B=

π

2

-A或B=π-(

π

2

-A)，化为A+B=

π

2

或B=

π

2

+A，因此△ABC是直角三角形不正确；
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则a²+b²＞c²，则C是锐角，则△ABC不一定是锐角三角形，不正确；
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，∴sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，
∵A，B，C∈（0，π），∴

A

2

，

B

2

，

C

2

∈(0，

π

2

)，∴

A

2

=

B

2

=

C

2

，A=B=C，∴△ABC是等边三角形．
其中正确的命题个数是 1．
故答案为：1．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．