Question

定义方程f（x）=f′（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数有且只有一个“新不动点”的是

 

（写出所有正确的序号）
①g（x）=

1

2

x² 
②g（x）=-e^x-2x  
③g（x）=lnx  
④g（x）=sinx+2cosx．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：分别求出每个函数的导数，然后解方程f（x）=f′（x），根据方程根的个数即可得到结论．

解答： 解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x₀叫做函数f（x）的“新不动点”，
①若g（x）=

1

2

x² 则g'（x）=x，由

1

2

x²=x，解得x=0或x=2．即有两个“新不动点”．
②若g（x）=-e^x-2x，则g′（x）=-e^x-2，由-e^x-2x=-e^x-2得2x=2，∴x=1，只有一个“新不动点”，满足条件．
③若g（x）=lnx，则g'（x）=

1

x

，由lnx=

1

x

，令r（x）=lnx-

1

x

，则r（x）在x＞0上单调递增，可知r（1）＜0，r（2）＞0，只有一个“新不动点”，满足条件．
④若g（x）=sinx+2cosx．则g'（x）=cosx-2sinx，由sinx+2cosx=cosx-2sinx．得3sinx=cosx，即tanx=

1

3

，∴有无数多个“新不动点”．
综上只有②③满足条件．
故答案为：②③

点评：本题主要考查导数的计算，是一个新定义的题，考查了推理判断的能力，理解定义，分别建立方程即可判断方程根的个数．