Question

【题目】对于两个定义域相同的函数、，若存在实数，，使则称函数是由“基函数”生成的.

（1）若和生成一个偶函数，求的值；

（2）若是由和生成，其中，.且求的取值范围；

（3）利用“基函数，”生成一个函数，使得满足：

①是偶函数，②有最小值，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的取值范围为；

（3）

【解析】

（1）先用待定系数法表示出偶函数，再根据其是偶函数这一性质得到引入参数方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可.

（2）设，展开后整理，利用待定系数法找到的关系，由系数相等把用表示，然后结合的范围求解的取值范围.

（3）设，是偶函数，则，可得与的关系，有最小值则必有，且有，求出和的值，可得解析式.

（1）和生成一个偶函数，

则，

，

，

故得，.

（2）设，

，，

则，

所以，

，.且，

的取值范围为.

（3）设，

是偶函数，

，

即，

，可得：，

则

，

有最小值，则必有，且有，

，

故得.