Question

【题目】空间中有不共面的个点．求证：存在无穷个平面，恰好通过其中的两个点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

由于个点不共面，故也不共线．下面证明，必存在一条直线恰好通过其中的两个点．

个点作两两连线，最多有条，每条线外的点到直线的非零距离中，必有最小的，设点到直线的距离为最短（如图）．

我们来证明，恰好通过两个已知点．

若不然，直线上至少有3个已知点，其中必有两点在的同侧．

记、在的同侧，有．

连结，作于，于．则，

即存在点到直线的距离小于．这与的最小性矛盾．故恰好通过两个已知点．

此时，之外还有个点，每个点与可以确定一个平面，最多可以确定个平面，但通过可以作无穷个平面，故去掉那个平面后，还有无穷个通过，它们中的每一个都恰好通过两个已知点．