题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)判断的单调性,并证明之;
(2)若存在实数,
,使得函数
在区间
上的值域为
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)求出的定义域,判断
的单调性,再利用单调性的定义证明即可.
(2)由(1)知,为偶函数,进而对
,
讨论即可.
(1)由,得
,所以
的定义域为
,
在区间
上为增函数,在区间
上为减函数,
证明如下:
任取,则
∵
,
∴,即
故,所以
在区间
上为减函数,
同理可证,在区间
上为增函数.
综上所述:在区间
上为增函数,在区间
上为减函数.
(2)由(1)知为偶函数,且在区间
上为增函数,
若存在,使得函数
在区间
上的值域为
,即
,
则方程,即
在区间
上有两个不同的根,
设,必有
,解得
,
因为偶函数,则在区间
上存在实数
,
,使得函数
在区间
上的值域为
,则有
,
若存在,使得函数
在区间
上的值域为
,
则有,
或
,
所以,则
,
若或
,则
或
,
即方程有两个根
,
,其中
,
因,其对称轴为
,故不存在实数
,
满足题意,
综上所述:实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目