Question

在棱长为1的正方体内，有两球相外切，并且又分别与正方体内切．
（1）以正方体每个面的中心为顶点构成一个八面体，求该八面体的体积．
（2）求两球半径之和．
（3）球的半径是多少时，两球体积之和最小？

Answer 1

考点：球内接多面体,球的体积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）八面体分成两个正四棱锥，求出底面面积，然后求出体积即可．
（2）利用ABCD为过球心的对角面，即可求两球半径之和．
（3）表示出两球的体积之和，利用配方法，求两球体积之和最小．

解答： 解：（1）将正方体的六个面的中心连接起来，构成一个八面体，分成两个正四棱锥，底面面积为：

1

2

，高为

1

2

，一个正四棱锥的体积为：

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

，
所以这个八面体的体积是V=

1

6

；
（2）如图，ABCD为过球心的对角面，AC=

3

，

设两球半径为R、r，则有R+r+

3

（R+r）=

3

，
所以R+r=

3- 3

2

；
（2）设两球的体积之和为V，
则V=

4

3

π（R³+r³）=

4

3

π•

3- 3

2

[3R²-

3(3- 3 )

2

R+（

3- 3

2

）²]，
所以当R=

3- 3

4

时，V有最小值．

点评：本题是基础题，考查棱锥的体积的求法，正方体的内接体的知识，解题关键在八面体转化为两个正四棱锥，是常考题型．