Question

已知函数f（x）=

x2-4x+10

-

x2-2x+3

，求f（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：数形结合法,函数的性质及应用

分析：本题可以利用两点间距离公式将原函数构造两点间距离的差，然后根据两边之差小于或等于第三边，得到本题结论．

解答： 解：∵函数f（x）=

x2-4x+10

-

x2-2x+3

，
∴f(x)=

(x-2)2+6

-

(x-1)2+2

．
∴记P（x，0），A（2，

6

），B（1，

2

），
则点P在x轴上，点A、B在x轴上方，
∵|AB|=

(2-1)2+( 6 - 2 )2

=

9-4 3

．
∴f（x）=|PA|-|PA|≤|AB|=

9-4 3

．
三点P、A、B共线时，取最大值．
由A（2，

6

），B（1，

2

），得：
直线AB的方程：y-

2

=(

6

-

2

)(x-1)，
令y=0，得：x=

1- 3

2

．
∴f（x）的最大值为

9-4 3

，此时：x=

1- 3

2

．

点评：本题考查了函数最值的一种求法-构造法，要求熟练掌握距离公式，本题有一定的难度，属于中档题．